Sannsynlighet er et av de mest konkrete temaene i matematikken, fordi elevene kan teste teorien selv. Her er sju ferdige opplegg med terning, mynt, loddtrekning og bursdager, fra mellomtrinnet til videregående, med gratis digitale verktøy som kan vises på tavla.
Begreper elevene trenger
| Begrep | Forklaring | Eksempel |
|---|---|---|
| Utfall | Ett mulig resultat av et forsøk | Terningen viser 4 |
| Utfallsrom | Alle mulige utfall | {1, 2, 3, 4, 5, 6} |
| Hendelse | En samling utfall vi er interessert i | «Partall» = {2, 4, 6} |
| Sannsynlighet | Gunstige utfall delt på mulige utfall, når alle er like sannsynlige | P(partall) = 3/6 = 1/2 |
| Relativ frekvens | Hvor ofte noe faktisk skjedde i forsøkene | 32 kron på 60 kast = 0,53 |
| Uavhengige hendelser | Utfallet av den ene påvirker ikke den andre | To myntkast etter hverandre |
1. Myntkast og store talls lov
Gjennomføring: Elevene jobber i par og kaster mynt 20 ganger hver. De noterer kron og mynt og regner ut den relative frekvensen for kron. Samle alle resultatene på tavla og regn ut frekvensen for hele klassen.
Hva elevene oppdager: Hvert par får ofte skjeve resultater, som 13 kron av 20. Men når klassen slår sammen flere hundre kast, nærmer frekvensen seg 0,5. Det er store talls lov.
Spørsmål til refleksjon: Hvis det har kommet kron fem ganger på rad, er det større sjanse for mynt neste gang? (Nei. Mynten husker ikke. Troen på at det «må» komme mynt kalles gamblerens feilslutning.)
2. Summen av to terninger
Gjennomføring: La elevene først gjette hvilken sum som kommer oftest. Deretter triller hver gruppe to terninger 50 ganger og lager et søylediagram over summene fra 2 til 12.
Hva elevene oppdager: Summen 7 kommer oftest, fordi den kan lages på seks måter (1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1), mens 2 og 12 bare kan lages på én måte hver. La elevene sette opp en 6 × 6-tabell over alle 36 kombinasjoner og regne ut den teoretiske sannsynligheten for hver sum.
Utvidelse: I Monopol slipper du ut av fengselet hvis du får to like. Hva er sjansen per kast? (6/36 = 1/6, fordi seks av de 36 kombinasjonene er par.)
3. Bursdagsparadokset i klassen
Gjennomføring: Spør klassen: Hvor mange personer må være i et rom før det er over 50 prosent sjanse for at to har samme bursdag? Samle gjetningene. Sjekk deretter om noen i klassen har samme bursdag.
Hva elevene oppdager: Svaret er bare 23. Med 25 elever er sjansen 57 prosent. Vis grafen i kalkulatoren og regn ut sannsynligheten steg for steg med motsatt hendelse: 1 − (365/365 · 364/365 · 363/365 · …).
Poenget: Det er antall par som teller. 25 elever gir 300 par.
4. Er trekningen rettferdig?
Gjennomføring: Læreren trekker hvem som skal svare med loddtrekning, men skriver ett navn tre ganger i listen. Kjør 30 trekninger og la elevene telle hvor ofte hvert navn kommer opp.
Spørsmål til diskusjon: Hvem hadde størst sjanse? Hvor stor? Er det rettferdig? Hvordan kan man vite om en trekning er rettferdig når man bare ser resultatet? (Man kan ikke vite det sikkert ut fra få trekninger. Det er derfor åpenhet om hvordan trekningen gjøres, er viktig.)
5. Hvorfor vinner nesten ingen i Lotto?
Gjennomføring: I Lotto trekkes 7 tall fra 1 til 34. Antall mulige rekker er 34 over 7 = 5 379 616. La elevene først regne ut hvor mange rekker det finnes med to tall fra 1 til 5, og bygg opp mot formelen for kombinasjoner.
Hva elevene oppdager: Sjansen for sju rette med én rekke er omtrent 1 av 5,4 millioner. Om du leverte én rekke hver uke, ville det i gjennomsnitt ta over 100 000 år å vinne. Rekken 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 er like sannsynlig som enhver annen.
Kobling til samfunnsfag: Snakk om hvorfor pengespill er regulert. Se også ansvarlig spill.
6. Stein, saks, papir
Gjennomføring: Elevene spiller 30 runder mot datamaskinen og noterer seire, tap og uavgjort. Deretter spiller de 30 runder mot hverandre.
Hva elevene oppdager: Mot datamaskinen, som velger tilfeldig, blir resultatet omtrent en tredjedel av hvert. Mot mennesker blir det ofte skjevt, fordi mennesker har mønstre. Det er en fin inngang til spillteori.
7. Monty Hall-problemet
Problemet: Bak én av tre dører er en bil, bak de to andre en geit. Du velger en dør. Programlederen, som vet hvor bilen er, åpner en av de andre dørene og viser en geit. Bør du bytte dør?
Gjennomføring: Elevene spiller i par med tre kopper og en mynt under én av dem. Den ene er programleder. Spill 20 runder der man alltid bytter, og 20 runder der man aldri bytter.
Hva elevene oppdager: De som bytter, vinner i omtrent to av tre runder. Forklaringen: Det første valget treffer bilen med sannsynlighet 1/3. I de resterende 2/3 av tilfellene står bilen bak den andre lukkede døra, fordi programlederen alltid åpner en dør med geit.
Tips til gjennomføringen
- La elevene gjette først. Når intuisjonen tar feil, husker de svaret bedre.
- Samle data fra hele klassen. Få forsøk gir store avvik. Flere forsøk viser mønsteret.
- Vis verktøyene på tavla. Alle verktøyene på Tallgenerator.no fungerer i nettleseren og har fullskjerm. Trekningen bruker kryptografisk tilfeldighet, så ingen kan si at læreren jukser.
- Kombiner med regnetrening. Elever som strever med brøkregning, kan øve med regneoppgaver og gangetabell først.