Hva er bursdagsparadokset?
Bursdagsparadokset er det overraskende resultatet at det bare trengs 23 personer i et rom før det er mer enn 50 prosent sjanse for at minst to av dem har bursdag samme dag. Med 50 personer er sjansen 97 prosent, og med 70 personer er den 99,9 prosent. De fleste gjetter at det trengs rundt 180 personer, altså halvparten av dagene i året.
Det er ikke et ekte paradoks, men det føles slik fordi vi tenker på feil spørsmål. Vi tenker på sjansen for at noen har bursdag samme dag som oss. Det er mye mindre sannsynlig. I et rom med 23 personer er den sjansen bare 5,9 prosent, og det trengs 253 andre personer før den passerer 50 prosent.
Hvorfor er sjansen så stor?
Fordi det er mange flere par enn personer. Med 23 personer kan du lage 253 forskjellige par (23 × 22 / 2), og hvert par er en ny mulighet for treff. Sjansen øker derfor mye raskere enn antall personer.
Utregningen steg for steg
Det er lettest å regne ut sjansen for at ingen har samme bursdag, og trekke den fra 1:
- Person 1 kan ha bursdag hvilken som helst dag: 365/365.
- Person 2 må ha en annen dag: 364/365.
- Person 3 må ha en tredje dag: 363/365. Og så videre.
Med 23 personer ganger du sammen 23 slike brøker, fra 365/365 ned til 343/365. Produktet blir omtrent 0,493. Sjansen for minst ett felles bursdag er da 1 − 0,493 = 0,507, altså 50,7 prosent.
Tabell: sjansen for felles bursdag
| Antall personer | Sjanse for at minst to har samme bursdag |
|---|---|
| 5 | 2,7 % |
| 10 | 11,7 % |
| 15 | 25,3 % |
| 20 | 41,1 % |
| 23 | 50,7 % |
| 25 (en vanlig skoleklasse) | 56,9 % |
| 30 | 70,6 % |
| 40 | 89,1 % |
| 50 | 97,0 % |
| 57 | 99,0 % |
| 70 | 99,9 % |
Utregningen forutsetter at alle 365 dager er like sannsynlige og ser bort fra 29. februar. I virkeligheten er fødsler litt ujevnt fordelt over året, og det gjør sjansen for treff litt større, ikke mindre.
Test det i klassen
En skoleklasse med 25 elever har 57 prosent sjanse for at minst to har samme bursdag. La elevene si bursdagen sin høyt i tur og orden, og la de andre rope «meg!» hvis de har samme dag. Sammenlign med parallellklassene: Omtrent halvparten av klassene bør få treff. Flere opplegg finner du i sannsynlighet i matematikkundervisningen.
Hvor brukes dette i praksis?
Bursdagsparadokset er viktig i datasikkerhet. Det forklarer hvorfor kryptografiske sjekksummer (hashfunksjoner) må være mye lengre enn man skulle tro: Et «bursdagsangrep» finner to ulike filer med samme sjekksum langt raskere enn det tar å finne én som matcher en bestemt fil. Det er samme grunn til at tilfeldige ID-er og passord bør være lange.